Question

14．若x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），則$\frac{sin2x}{{{{sin}^2}x+4{{cos}^2}x}}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 根據x得出tanx的取值范圍，化$\frac{sin2x}{{{{sin}^2}x+4{{cos}^2}x}}$為切函數，利用基本不等式求出它的最大值．

解答 解：當x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）時，tanx∈（1，+∞），
且$\frac{sin2x}{{{{sin}^2}x+4{{cos}^2}x}}$=$\frac{2sinxcosx}{{sin}^{2}x+{4cos}^{2}x}$=$\frac{2tanx}{{tan}^{2}x+4}$=$\frac{2}{tanx+\frac{4}{tanx}}$，
又tanx+$\frac{4}{tanx}$≥2$\sqrt{tanx•\frac{4}{tanx}}$=4，
當且僅當tanx=$\frac{4}{tanx}$，即tanx=2時“=”成立；
∴$\frac{sin2x}{{{{sin}^2}x+4{{cos}^2}x}}$的最大值為$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了三角函數的最值問題，根據二倍角公式與弦化切公式化簡函數解析式，是解題的關鍵．