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20.已知平面向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$,|$\overrightarrow{b}$|=1,
(1)若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2,試求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角的余弦值.
(2)若對一切實數(shù)x,|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立,求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角.

分析 (1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與夾角公式,即可求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$夾角的余弦值;
(2)【解法一】設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角為θ,利用模長公式得出關(guān)于x的不等式(x2-1)+(2x-2)$\sqrt{2}$cosθ≥0,
討論x=1、x>1和x<1時,求出cosθ的值,從而求出θ的值;
【解法二】設(shè)a與b的夾角為θ,由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$得出不等式x2+2$\sqrt{2}$xcosθ-2$\sqrt{2}$cosθ-1≥0對一切實數(shù)x恒成立,
利用判別式△≤0求出cosθ的值,從而得出θ的值.

解答 解:(1)因為|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$,|$\overrightarrow{b}$|=1,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2,
所以|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|2=4,
即$\overrightarrow{a}$2-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$2=4,
2-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=4,
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$.
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為θ,
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×1}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$  …(4分)
(2)【解法一】令$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為θ.
由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|,得($\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$)2≥($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)2,…(5分)
化為(x2-1)|$\overrightarrow{b}$|2+(2x-2)|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ≥0,
因為|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$,|$\overrightarrow{b}$|=1,
所以(x2-1)+(2x-2)$\sqrt{2}$cosθ≥0,…(6分)
當(dāng)x=1時,式子顯然成立;    …(7分)
當(dāng)x>1時,cosθ≥-$\frac{{x}^{2}-1}{(2x-2)\sqrt{2}}$=-$\frac{x+1}{2\sqrt{2}}$,
由于-$\frac{x+1}{2\sqrt{2}}$<-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,故cosθ≥-$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
當(dāng)x<1時,cosθ≤-$\frac{{x}^{2}-1}{(2x-2)\sqrt{2}}$=-$\frac{x+1}{2\sqrt{2}}$,
由于-$\frac{x+1}{2\sqrt{2}}$>-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,故cosθ≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
所以cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得θ=$\frac{3π}{4}$.…(12分)
【解法二】令$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為θ,由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|,
得($\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$)2≥($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)2,…(5分)
因為|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$,|$\overrightarrow{b}$|=1,
所以x2+2$\sqrt{2}$xcosθ-2$\sqrt{2}$cosθ-1≥0,
對一切實數(shù)x恒成立,…(7分)
所以△=8cos2θ+8$\sqrt{2}$cosθ+4≤0,…(9分)
即($\sqrt{2}$cosθ+1)2≤0,故cosθ=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,…(11分)
因為θ∈[0,π],所以θ=$\frac{3}{4}$π.…(12分)

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角公式的由于問題,也考查了不等式恒成立問題,是綜合性題目.

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