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12.已知數(shù)列{an},若a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,數(shù)列{an+1}為公比為2的等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}滿足bn=an•log2(an+1)(n∈N*),其前n項和為Tn,試求滿足Tn+$\frac{{n}^{2}+n}{2}$>2015的最小正整數(shù)n.

分析 (I)由a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,數(shù)列{an+1}為公比為2的等比數(shù)列.可得2(a2+1)=a1+a3,an+1=$({a}_{1}+1)•{2}^{n-1}$.解得a1,a2.即可得出.
(II)bn=an•log2(an+1)=n•2n-n,利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(I)∵a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,數(shù)列{an+1}為公比為2的等比數(shù)列.
∴2(a2+1)=a1+a3,an+1=$({a}_{1}+1)•{2}^{n-1}$.
∴2(a2+1)=a1+a3,a2+1=2(a1+1),a3+1=4(a1+1).
解得a1=1,a2=3.
∴an=2n-1.
(II)bn=an•log2(an+1)=n(2n-1)=n•2n-n,
設(shè)數(shù)列{n•2n}的前n項和為An
則An=2+2×22+3×23+…+n•2n
2An=22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
∴-An=2+22+23+…+2n-n•2n+1=$\frac{2({2}^{n}-1)}{2-1}$-n•2n+1
化為:An=(n-1)•2n+1+2.
∴Tn=(n-1)•2n+1+2-$\frac{n(n+1)}{2}$.
∴Tn+$\frac{{n}^{2}+n}{2}$>2015,(n-1)•2n+1+2>2015,n≥8.
∴滿足Tn+$\frac{{n}^{2}+n}{2}$>2015的最小正整數(shù)n=8.

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式與求和公式、“錯位相減法”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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