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15．

如圖，在正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分別為AB，AA₁的中點．求證：
（1）EF∥D₁C；
（2）CE，D₁F，DA三線共點．

分析（1）利用公理4，即可證明EF∥D₁C；
（2）D₁F與CE相交，證明D₁F與CE的交點必在DA上，即可證明CE，D₁F，DA三線共點．

解答證明：（1）連接A₁B，則EF∥A₁B，A₁B∥D₁C，∴EF∥D₁C．
（2）∵面AA₁D₁D∩面ABCD=DA，且$EF∥{D_1}C，EF=\frac{1}{2}{D_1}C$．
∴D₁F與CE相交．
又D₁F?面AA₁D₁D，CE?面ABCD．
∴D₁F與CE的交點必在DA上，
∴CE，D₁F，DA三線共點．

點評本題考查平面的基本性質，考查學生分析解決問題的能力，正確運用平面的基本性質是關鍵．

練習冊系列答案

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5．

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=$\sqrt{2}$，F是BC的中點．
（Ⅰ）求證：DA⊥平面PAC
（Ⅱ）PD的中點為G，求證：CG∥平面PAF
（Ⅲ）求三棱錐A-CDG的體積．

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6．數列{a_n}是公比為q（q＞1）的等比數列，其前n項和為S_n．已知S₃=7，且3a₂是a₁+3與a₃+4的等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，c_n=b_n（b_n+1-b_n+2），求數列{c_n}的前n項和T_n．

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3．如圖的程序框圖所描述的算法，若輸入m=209，n=121，則輸出的m的值為（　　）

A．

B．

C．

D．

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10．已知函數①y=2^x；②y=log₂x；③y=x^-1；④y=$\sqrt{x}$，則下列函數圖象（在第一象限部分）從左到右依次與函數序號的正確對應順序是（　　）

A．

②①③④

B．

②③①④

C．

④①③②

D．

④③①②

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20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，
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（2）若對一切實數x，|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角．

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7．已知函數f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x
（1）當a＞0時，討論函數g（x）的單調性；
（2）設斜率為k的直線與函數f（x）的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，其中x₁＜x₂，證明$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$．

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5．已知tanα=$\sqrt{2}$，cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），則tanβ=2$\sqrt{2}$；2α+β=π．

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