Question

5．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=CB=2，四邊形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，點G是BF的中點．
（1）求證：CG∥平面ADF；
（2）直線BE與平面ACFE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結CE∩AF=O，連結OD，OG，推導出四邊形CDOG是平行四邊形，從而CG∥OD，由此能證明CG∥平面ADF．
（2）BC⊥平面ACFE，BE在平面ACFE上和射影為EC，BE與平面ACFE所成的角為∠BEC．由此能求出直線BE與平面ACFE所成角的正切值．

解答 證明：（1）連結CE∩AF=O，連結OD，OG，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=CB=2，G是BF的中點，
∴OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴OG$\underset{∥}{=}$CD，
∴四邊形CDOG是平行四邊形，
∴CG∥OD，
又OD?平面ADF，CG?平面ADF，
∴CG∥平面ADF．
解：（2）由（1）可知：BC⊥平面ACFE，BE在平面ACFE上和射影為EC，
BE與平面ACFE所成的角為∠BEC．
在△BCE中，∠BCE為直角，BC=2，
由勾股定理知：EC=3，
在△BCF中：tan∠BEC=$\frac{2}{3}$，
∴直線BE與平面ACFE所成角的正切值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．