Question

15．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，若函數g（x）=f（f（x））+k在x∈R上有且僅有一個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． （e，+∞）
• B． （1，e）
• C． （-∞，-e）
• D． （-e，-1）

Answer 1

分析 依題意知-k=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{e}^{x}}，x≥0}\\{{e}^{-2x}，x＜0}\end{array}\right.$，x≥0，${e}^{{e}^{x}}$≥e，x＜0，e^-2x＞1，根據函數g（x）=f（f（x））+k在x∈R上有且僅有一個零點，即可得出結論．

解答 解：依題意知-k=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{e}^{x}}，x≥0}\\{{e}^{-2x}，x＜0}\end{array}\right.$，
x≥0，${e}^{{e}^{x}}$≥e，x＜0，e^-2x＞1，
∵函數g（x）=f（f（x））+k在x∈R上有且僅有一個零點，
∴1＜-k＜e，∴-e＜k＜-1，
故選：D．

點評 本題考查分段函數，考查函數的零點，考查學生分析解決問題的能力，正確求出分段函數是關鍵．