Question

2．已知長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；
（1）求出異面直線AC'和BD所成角的余弦值；
（2）找出AC'與平面D'DBB'的交點，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，求出兩條線段的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．
（2）連接BD'，DB'交于點O，則點O即為AC'與平面D'DBB'的交點，根據長方體的性質，可得結論．

解答 解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系，

∵AB=4，AD=3，AA'=2；
∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）
則：$\overrightarrow{{AC′}^{\;}}$=（4，3，2），$\overrightarrow{BD}$=（-4，3，0）
異面直線AC'和BD所成角的余弦值為：$\frac{|\overrightarrow{{AC′}^{\;}}•\overrightarrow{BD}|}{\left|\overrightarrow{{AC′}^{\;}}\right|•\left|\overrightarrow{BD}\right|}$=$\frac{7}{\sqrt{29}•5}$=$\frac{7\sqrt{29}}{145}$；
（2）連接BD'，DB'交于點O，則點O即為AC'與平面D'DBB'的交點，

根據長方體的幾何特征可得：
O為長方體ABCD-A'B'C'D'外接球的球心，
AC'為長方體ABCD-A'B'C'D'外接球的直徑，
故O為AC'中點，
又由BD'，DB'交于點O，故O在平面D'DBB'上，
故O即為AC'與平面D'DBB'的交點．

點評 本題考查的知識點是空間直線與直線，直線與平面的位置關系，異面直線的夾角，難度中檔．