Question

20．設x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x-2y≥0}\\{x-y≤1}\end{array}}\right.$，并設滿足該條件的點（x，y）所形成的區域為Ω，則
（1）Z=x²+y²-2y的最小值為$-\frac{1}{5}$；
（2）包含Ω的面積最小的圓的方程為x²+y²-3x+y=0．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：x，y滿足的平面區域如圖：
（1）Z=x²+y²-2y=x²+（y-1）²-1的最小值為（0，1）到直線x-2y=0的距離的平方減去1，為|$\frac{2}{\sqrt{5}}$|²-1=-$\frac{1}{5}$；
（2）包含Ω的面積最小的圓的方程即為三角形區域的外接圓方程，則此時過點O，
B（2，1），A（0，-1）三點的圓，
設圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，得到$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{5+2D+E+F=0}\\{1-E+F=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{D=-3}\\{E=1}\\{F=0}\end{array}\right.$，
所以包含Ω的面積最小的圓的方程為
x²+y²-3x+y=0．
故答案為：$-\frac{1}{5}$；x²+y²-3x+y=0．

點評 本題主要考查線性規劃的應用以及圓的方程的求解．利用數形結合以及目標函數的幾何意義是解決本題的關鍵．