Question

8．已知橢圓C與橢圓$\frac{x^2}{3}$+y²=1有相同的焦點，且過點（$\sqrt{2}$，1），
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的右頂點為A，若直線y=k（x-1）與橢圓相交于不同的兩點M、N，當△AMN的面積為$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{x^2}{3}$+y²=1，可知焦點在x軸上，則求得焦點坐標，設橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-2}}=1（{{a^2}＞2}）$，將點（$\sqrt{2}$，1）代入，即可求得a，求得橢圓C的方程；
（2）由題意可知：將直線方程代入橢圓方程，直線y=k（x-1）一定過點P（1，0），且橢圓C的右頂點為A（2，0），求得|PA|=1，由三角形的面積公式可知${S_{△AMN}}={S_{△PAN}}+{S_{△PAM}}=\frac{1}{2}•|{PA}|•|{{y_1}-{y_2}}|$，由y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），由韋達定理代入即可求得k的值．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{x^2}{3}$+y²=1，可知焦點在x軸上，
a²=3，b²=1，c²=a²-b²=3-1=2，則$c=\sqrt{2}$．
∴橢圓C的兩焦點分別為：$（{-\sqrt{2}，0}）$和$（{\sqrt{2}，0}）$，
設橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-2}}=1（{{a^2}＞2}）$，
把$（{\sqrt{2}，1}）$代入方程，得$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{{{a^2}-2}}=1$，
即a⁴-5a²+4=0，
∴a²=4或a²=1（舍），
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$
（2）設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，
∵直線y=k（x-1）一定過點P（1，0），
且橢圓C的右頂點為A（2，0），
∴|PA|=1，
∴${S_{△AMN}}={S_{△PAN}}+{S_{△PAM}}=\frac{1}{2}•|{PA}|•|{{y_1}-{y_2}}|$，
=$\frac{1}{2}|{k（{{x_1}-1}）-k（{{x_2}-1}）}|=\frac{1}{2}|{k（{{x_1}-{x_2}}）}|=\frac{|k|}{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，
=$\frac{{|k|•\sqrt{4+6{k^2}}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$，
解得k=±1，
k的值±1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，三角形面積公式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．