Question

5．已知拋物線x²=4y，直線l的方程y=-2，動點P在直線l上，過P點作拋物線的切線，切點分別為A，B，線段A，B的中點為Q
（Ⅰ）求證：直線AB恒過定點；
（Ⅱ）求Q點軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設Q（t，-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由y′=$\frac{1}{2}$x，利用導數的幾何意義求出在點A處的切線方程為y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁．在點B處的切線方程為y=$\frac{1}{2}$x₂x-y₂．從而點A，B都滿足方程-2=$\frac{1}{2}$tx-y，由此能證明直線AB恒過定點（0，2）．
（Ⅱ）設Q（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²=4y，利用點差法能求出Q點軌跡方程．

解答 證明：（Ⅰ）設Q（t，-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x．
∴在點A處的切線方程為y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），化為y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁．
同理在點B處的切線方程為y=$\frac{1}{2}$x₂x-y₂．
∵點Q（t，-2）在兩條切線上．
∴點A，B都滿足方程-2=$\frac{1}{2}$tx-y，
∴直線AB恒過定點（0，2）．
解：（Ⅱ）設Q（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²=4y，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=4{y}_{1}}\\{{{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}}\end{array}\right.$，兩式相減，得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2x}{4}$=$\frac{1}{2}x$，
∵直線AB過Q（x，y），（0，2），∴k=$\frac{y-2}{x}$，
∴$\frac{1}{2}x=\frac{y-2}{x}$，整理，得：x²-2y+4=0，
當直線AB的斜率不存在時，上式也成立，
∴Q點軌跡方程為x²-2y+4=0．

點評 本題考查直線恒過定點的證明，考查點的軌跡方程的求法，考查拋物線、導數的幾何意義、點差法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．