Question

16．已知過點A（-2，0）的直線與x=2相交于點C，過點B（2，0）的直線與x=-2相交于點D，若直線CD與圓x²+y²=4相切，則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（x≠±2）．

Answer 1

分析 設(shè)C（2，y₁），D（-2，y₂），求出直線CD的方程，根據(jù)切線的性質(zhì)得出y₁y₂=4，設(shè)M（x₀，y₀），用M點坐標(biāo)表示出y₁，y₂，代入y₁y₂=4得出軌跡方程．

解答 解：設(shè)C（2，y₁），D（-2，y₂），則直線CD的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{4}$（x-2），
即（y₁-y₂）x-4y+2（y₁+y₂）=0，
∵直線CD與圓x²+y²=4相切，
∴$\frac{2|{y}_{1}+{y}_{2}|}{\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}+16}}$=2，整理得y₁y₂=4．
設(shè)M（x₀，y₀），則直線AM的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{y}_{0}+2}$（x+2），
令x=2得y=$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，即y₁=$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，
同理得y₂=$\frac{-4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∵y₁y₂=4．
∴$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{-4{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=4，
即x₀²+4y₀²=4，即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1．
∴M的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）．

點評 本題考查了軌跡方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．