Question

13．已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²a_n（n≥2），且a₁=1，
（1）計算a₂、a₃、a₄，猜想數列{a_n}的通項公式；
（2）用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用數列的前n項和與第n項的關系，得到關于數列的遞推關系式，即可求得此數列的前幾項．
（2）用數學歸納法證明數列問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設當n=k+1時，有a_k=$\frac{2}{k（k+1）}$，利用此假設證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答 解：（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，
∴a₂=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{6}$，a₄=$\frac{1}{10}$．
（2）猜測 a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$；下面用數學歸納法證：
①當n=1時，結論顯然成立．
②假設當n=k時結論成立，即a_k=$\frac{2}{k（k+1）}$
則當n=k+1時，a_k+1=$\frac{k}{k+2}$a_k=$\frac{k}{k+2}$×$\frac{2}{k（k+1）}$=$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$
故當n=k+1時結論也成立．
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有$a_n=\frac{2}{n（n+1）}$成立．

點評 本題主要考查數列遞推式、數學歸納法，第（1）問要注意遞推公式的靈活運用，第（2）問要注意數學歸納法的證明技巧．數學歸納法的基本形式設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立．