Question

5．已知在平面直角坐標系xOy中，過點P（1，0）的直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C點的極坐標方程為ρ=-4sin（θ-$\frac{π}{6}$）．
（1）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；
（2）若直線l與曲線C交于兩點A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C點的極坐標方程為ρ=-4sin（θ-$\frac{π}{6}$），即ρ²=-4ρsin（θ-$\frac{π}{6}$），利用互化公式可得直角坐標方程．求出圓心到直線l的距離d，與半徑r比較可得直線l與曲線C的位置關(guān)系．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），代入圓C的方程可得：t²+$\sqrt{3}$t-1=0．可得|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x-$\sqrt{3}$y-1=0．
曲線C點的極坐標方程為ρ=-4sin（θ-$\frac{π}{6}$），即ρ²=-4ρsin（θ-$\frac{π}{6}$），可得直角坐標方程：x²+y²+4×$（\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}x）$=0，
配方為（x-1）²+$（y+\sqrt{3}）^{2}$=4，可得圓心C（1，-$\sqrt{3}$），半徑r=2．
圓心到直線l的距離d=$\frac{|1+\sqrt{3}×\sqrt{3}-1|}{2}$=$\frac{3}{2}$＜2=r．
∴直線l與曲線C的位置關(guān)系是相交．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），代入圓C的方程可得：t²+$\sqrt{3}$t-1=0．
∴t₁t₂=-1．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=1．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標互化的公式、圓的標準方程、點到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．