Question

17．如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，BQ∩AC=N，M是棱PC上的一點，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．
（Ⅰ）求證：直線MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱錐P-AQM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PQ⊥AD，從而PQ⊥平面ABCD，以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線MN∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PAQ的法向量$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{QM}$，從而求出M到平面PAQ的距離d，四棱錐P-AQM的體積V_P-AQM=V_M-PAQ，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如圖，以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，2，0），N（0，1，0），
P（0，0，2$\sqrt{3}$），M（-1，1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{MN}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-2，0，2$\sqrt{3}$），
設平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-2x+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}，1$），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}$=$\sqrt{3}+0-\sqrt{3}$=0，MN?平面PAB，
∴直線MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）平面PAQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{QM}$=（-1，1，$\sqrt{3}$），
M到平面PAQ的距離d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1}}$=1，
S_△PAQ=$\frac{1}{2}×|PQ|×|AQ|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-AQM的體積：
V_P-AQM=V_M-PAQ=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAQ}×d$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查幾何體體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想，是中檔題．