Question

20．已知函數f（x）=x²-4x+2（1-a）lnx，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[e，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=x²-4x-2lnx，
f′（x）=2x-4-$\frac{2}{x}$=$\frac{2{[（x-1）}^{2}-2]}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1+$\sqrt{2}$或x＜1-$\sqrt{2}$（舍），
令f′（x）＜0，解得：x＜1+$\sqrt{2}$，
故f（x）在（0，1+$\sqrt{2}$）遞減，在（1+$\sqrt{2}$，+∞）遞增；
（2）f′（x）=2x-4+$\frac{2（1-a）}{x}$=$\frac{2{[（x-1）}^{2}-a]}{x}$，
令g（x）=（x-1）²-a，
2＜a≤（e-1）²時，g（x）≥0，即f′（x）≥0，
f（x）在[e，+∞）遞增，f（x）_min=f（e）=e²-4e+2（1-a），
a＞（e-1）²時，令g（x）＞0，解得：x＞1+$\sqrt{a}$，或x＜1-$\sqrt{a}$（舍），
令g（x）＜0，解得：e＜x＜1+$\sqrt{a}$，
故f（x）在[e，1+$\sqrt{a}$）遞減，在（1+$\sqrt{a}$，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（1+$\sqrt{a}$）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．