Question

f（x）=

x

2

-

1

4

sinx-

3

4

cosx，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f′（B）=

3

4

，B∈（0，

π

2

）．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]的值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則,三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，再根據(jù)兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)f′（x），再根據(jù)三角形函數(shù)值，求出B；
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

2

-

1

4

cosx+

3

4

sinx=

1

2

+

1

2

sin（x-

π

6

），
∵f′（B）=

3

4

，B∈（0，

π

2

）．
∴

1

2

+

1

2

sin（B-

π

6

）=

3

4

，
∴sin（B-

π

6

）=

1

2

∴B=

π

3

；
（Ⅱ）sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]
=sin（60°+10°）[1-

3

tan（60°-10°）]
=sin70°

cos50°- 3 sin50°

cos50°

=cos20°

2sin(30°-50°)

sin40°

=-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和三角函數(shù)的有關(guān)公式，屬于基礎(chǔ)題