Question

若關于x的不等式（ax-50）lg

2a

x

≤0對任意的正實數x恒成立，則實數a的取值集合是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由題意可得a＞0，x＞0，設f（x）=（ax-50）lg

2a

x

，可得當x無限趨近于0時，f（x）無限趨近于-∞，當x無限趨近于+∞時，f（x）無限趨近于-∞，
把f（x）≤0恒成立轉化為f（x）有唯一的零點，進一步得到

50

a

=2a，由此求得a的取值集合．

解答： 解：（ax-50）lg

2a

x

≤0對任意的正實數x恒成立，
則a＞0，x＞0，
設f（x）=（ax-50）lg

2a

x

，
當x無限趨近于0時，f（x）無限趨近于-∞，
當x無限趨近于+∞時，f（x）無限趨近于-∞，
若f（x）≤0恒成立，需f（x）有唯一的零點，
由f（x）=0，得ax-50=0或lg

2a

x

=0．
解得：x=

50

a

，x=2a．
若f（x）有唯一的零點，則

50

a

=2a，
那么a²=25，即a=5．
∴實數a的取值集合是{5}．
故答案為：{5}．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，把f（x）≤0恒成立轉化為f（x）有唯一的零點是解答該題的關鍵，是中檔題．