Question

國家教育部要求高中階段每學年都要組織學生進行“國家學生體質健康數據測試”，方案要求以學校為單位組織實施，某校對高一1班同學按照“國家學生體質健康數據測試”項目按百分制進行了測試，并對50分以上的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，若90～100分數段的人數為2人．
（I）請求出70～80分數段的人數；
（II）現根據測試成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成搭檔小組．若選出的兩人成績差大于20，則稱這兩人為“搭檔組”，試求選出的兩人為“搭檔組”的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（I）根據頻率分布直方圖可知，各個小組的頻率，求出參加測試而定總人數，70～80（分）數段的頻率，即可求出人數
（II）本題是一個等可能事件的概率，可以列舉出從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法，滿足條件的事件是兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，根據等可能事件的概率公式得到結果．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知：50～60（分）的頻率為0.1，60～70（分）的頻率為0.25，80～90（分）的頻率為0.15，90～100分的頻率為0.05；…（1分）
∴70～80（分）的頻率為1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45，…（2分）
∵90～100分數段的人數為2人，頻率為0.05；∴參加測試的總人數為

2

0.05

=40人．…（4分）
∴70～80（分）數段的人數為40×0.45=18．…（5分）
（Ⅱ）∵參加測試的總人數為

2

0.05

=40人，
∴50～60（分）數段的人數為40×0.1=4人．…（6分）
設第一組50～60（分）數段的同學為A₁，A₂，A₃，A₄；第五組90～100分數段的同學為B₁，B₂，…（7分）
則從中選出兩人的選法有：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂）共15種；…（9分）
其中兩人成績差大于20的選法有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂）共8種；…（11分）
則選出的兩人為“搭檔組”的概率為P=

8

15

．…（12分）

點評：本題考查用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，考查等可能事件的概率，考查用列舉法來數出事件數，這是一個概率與統計的綜合題目．