Question

已知冪函數f（x）=x -k2+k+2，（k∈Z）滿足f（2）＜f（3）．
（1）求實數k的值，并求出相應的函數f（x）解析式；
（2）對于（1）中的函數f（x），試判斷是否存在正數q，使函數g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在區間[-1，2]上值域為[-4，

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]．若存在，求出此q．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由已知可得冪函數f（x）=x -k2+k+2，（k∈Z）為增函數，由-k²+k+2＞0求得k的值，則冪函數解析式可求；
（2）把f（x）代入g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x，整理后求其對稱軸方程，分對稱軸大于-1和小于等于-1分類分析得答案．

解答： 解：（1）由f（2）＜f（3），可得冪函數f（x）=x -k2+k+2，（k∈Z）為增函數，
則-k²+k+2＞0，解得：-1＜k＜2，
又k∈Z，∴k=1或k=0，
則f（x）=x²；
（2）由g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x=-qx²+（2q-1）x+1，
其對稱軸方程為x=

2q-1

2q

=1-

1

2q

，
由q＞0，得1-

1

2q

＜1，
當1-

1

2q

＞-1，即q＞

1

4

時，
g(x)max=g(1-

1

2q

)=

4q2+1

4q

．
由

4q2+1

4q

=

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，解得q=2或q=

1

8

（舍去），
此時g（-1）=-2×（-1）²+3×（-1）+1=-4，g（2）=-2×2²+3×2+1=-1，
最小值為-4，符合要求；
當1-

1

2q

≤-1，即q≤

1

4

時，g（x）_max=g（-1）=-3q+2，g（x）_min=g（2）=-1，不合題意．
∴存在正數q=2，使函數g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在區間[-1，2]上值域為[-4，

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8

]．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了冪函數的單調性，考查了利用分類討論求二次函數的最值，是中檔題．