Question

已知函數f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當x∈[1，3]時，f（x）=lnx在區間[

1

3

，3]上，函數g（x）=f（x）-ax（a＞0）恰有一個零點，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：根據題意畫出圖形，結合a≤k_OA=6ln3，當直線與曲線f（x）=lnx相切時，可解得k=

1

e

；進而求出a的取值范圍．

解答： 解：當x∈[

1

3

，1]時，

1

x

∈[1，3]，
則f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

=-2lnx．
在坐標系內畫出分段函數圖象：
由題意可知：a≤k_OA=6ln3，
當直線與曲線f（x）=lnx相切時，
解得k=

1

e

；所以a的取值范圍是

1

e

＜a≤6ln3．
故答案為：

1

e

＜a≤6ln3．

點評：本題考查了函數的零點的判斷，屬于基礎題．