Question

16．在平面直角坐標系xOy中，點M到F（1，0）的距離比它到y軸的距離大1．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若在y軸右側，曲線C上存在兩點關于直線x-2y-m=0對稱，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出M點的坐標，直接由題意列等式，整理后即可得到M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設兩對稱點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件可設AB方程為：y=-2x+t，與拋物線y²=4x消去y得關于x的一元二次方程，則△＞0①，由韋達定理可表示AB中點橫坐標，代入x-2y-m=0得其縱坐標，再代入AB方程得m與t的方程，聯立①即可求得m的取值范圍，

解答 解：（Ⅰ）設M（x，y），依題意得：|MF|=|x|+1，即$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=|x|+1$，
化簡得，y²=2|x|+2x．
∴點M的軌跡C的方程為y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；
（Ⅱ）設兩對稱點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線l：x-2y-m=0垂直平分線段AB，
設AB：y=-2x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得4x²-4（t+1）x+t²=0，
則△=16（t+1）²-16t²＞0，即t＞-$\frac{1}{2}$①，
x₁+x₂=t+1，
則AB中點橫坐標為$\frac{t+1}{2}$，
代入x-2y-m=0，得y=$\frac{t+1}{4}$-$\frac{1}{2}$m，
所以AB中點坐標為（$\frac{t+1}{2}$，$\frac{t+1}{4}$-$\frac{1}{2}$m），
又中點在直線AB上，
所以$\frac{t+1}{4}$-$\frac{1}{2}$m=-2•$\frac{t+1}{2}$+t，即t=2m-5，
由①得2m-5＞-$\frac{1}{2}$，
解得m＞$\frac{9}{4}$，
所以m的取值范圍為：（$\frac{9}{4}$，+∞）．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查軸對稱問題，本題采用“方程、不等式”法，解決本題的關鍵是用數學式子充分刻畫條件：兩點關于直線對稱．