Question

1．已知函數f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（1）當a=-1，b=3時，求函數f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值和最小值；
（2）當a=0時，是否存在正實數b，當x∈（0，e]（e是自然對數底數）時，函數f（x）的最小值是3，若存在，求出b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，利用導數判斷函數的單調性與函數最值即可；
（2）當b＞0時，即導函數零點：x=$\frac{1}{b}$；所以f（x）在（0，$\frac{1}{b}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{b}$，+∞）上單調遞增；
再分類討論$\frac{1}{b}$與e的關系；

解答 解：（1）由題意，f（x）=-x²+3x-lnx，定義域為：x＞0
對f（x）求導：f'（x）=-2x+3-$\frac{1}{x}$，令f'（x）=0，則有x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=1；
當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f'（x）＜0，則f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調遞減；
當x∈（$\frac{1}{2}$，1）時，f'（x）＞0，則f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，則f（x）在（1，+∞）上單調遞減；
所以f（x）_max=f（1）=2，f（x）_min={f（$\frac{1}{2}$），f（2）}=f（$\frac{1}{2}$）=ln2+$\frac{5}{4}$；
（2）當a=0時，f（x）=bx-lnx  （x＞0）
對f（x）求導，即f'（x）=b-$\frac{1}{x}$
當b＞0時，令f'（x）=0，即導函數零點：x=$\frac{1}{b}$；
所以f（x）在（0，$\frac{1}{b}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{b}$，+∞）上單調遞增；
（i）當$\frac{1}{b}$＞e時，即：b＜$\frac{1}{e}$，f（x）在（0，e]上單調遞減，此時最小值為f（e）．
由題意，f（e）=3，即：b=$\frac{3}{e}$，不合題意；
（ii）當$\frac{1}{b}$≤e時，即：b≥$\frac{1}{e}$，f（x）在（0，$\frac{1}{b}$）上遞減，在（$\frac{1}{b}$，e）上遞增；
此時最小值為f（b）．
由題意：f（b）=3，即：b=e²，滿足題意．
綜上：b=e²．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，求函數最值以及分類討論思想的應用，屬中等題．