Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）中，橢圓長軸長是短軸長的$\sqrt{3}$倍，短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交與A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為-$\frac{1}{2}$，求斜率k的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組求解橢圓的幾何量，即可得到橢圓的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=k（x+1）代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，利用判別式以及韋達定理，結合中點坐標，求解即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{\sqrt{3}b=a}\\{\frac{1}{2}×b×2c=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=5}\\{{b^2}=\frac{5}{3}}\end{array}}\right.$，所以橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{{\frac{5}{3}}}=1$．--------（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=k（x+1）代入橢圓方程，整理得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0．（8分）$△=36{k^4}-4（{1+3{k^2}}）（{3{k^2}-5}）=48{k^2}+20＞0，{x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$．--------------------（10分）
因為AB中點的橫坐標為$-\frac{1}{2}$，所以$-\frac{{3{k^2}}}{{1+3{k^2}}}=-\frac{1}{2}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．---------------------（12分）

點評 本題考查橢圓與直線的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．