Question

4．若函數y=f（x），x∈D，對任意的x₁∈D，總存在x₂∈D，使得f（x₁）•f（x₂）=1，則稱函數f（x）具有性質M．
（1）判斷函數y=2^x和y=log₂x是否具有性質M，說明理由；
（2）若函數y=log₈（x+2），x∈[0，t]具有性質M，求t的值；
（3）若函數y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$（a≠0）在實數集R上具有性質M，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數f（x）具有性質M的定義，可得函數y=2^x具有性質M，函數y=log₂x沒有性質M；
（2）若函數y=log₈（x+2），x∈[0，t]具有性質M，則log₈2•log₈（t+2）=1，進而得到t的值；
（3）若函數$y=\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$（a≠0）在實數集R上具有性質M，其值域可能為（0，+∞）、（-∞，0）、[m，$\frac{1}{m}$]的形式，用判別式法對函數求值域，選其符合條件的情況即可求a．

解答 解：（1）函數y=2^x的定義域為R；
且f（x₁）•f（x₂）=${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
若f（x₁）•f（x₂）=1，則x₁+x₂=0，
對任意的x₁∈D，總存在x₂∈D，使得f（x₁）•f（x₂）=1，
∴函數y=2^x具有性質M，
函數y=log₂x的定義域為（0，+∞），
令x₁=1，則f（x₁）=0，
此時f（x₁）•f（x₂）=0恒成立，
即不存在x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，
∴函數y=log₂x沒有性質M；
（2）∵函數y=log₈（x+2），x∈[0，t]的值域為[log₈2，log₈（t+2）]，若函數y=log₈（x+2），x∈[0，t]具有性質M，
則log₈2•log₈（t+2）=1，t+2=8³，
解得：t=510；
（3）y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$⇒（y-1）x²-（ay+a）x+9y-9=0
⇒△=（ay+a）²-4（y-1）（9y-9）=（a²-36）y²+（2a²+72）y+a²-36≥0
∵y₁y₂=1，要使函數y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$（a≠0）在實數集R上具有性質M，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-36＜0}\\{{△}_{1}＞0}\end{array}\right.$⇒-6＜a＜6且a≠0
∴函數y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$（a≠0）在實數集R上具有性質M，a的取值范圍為（-6，0）∪（0.6）

點評 本題考查了函數的新定義，及函數的值域，屬于壓軸題．