Question

5．已知函數$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+cos2x+a$，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時，恒有f（x）＞0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由兩角和與差的正弦公式化簡解析式，由三角函數的周期公式求出函數f（x）的最小正周期；
（2）由x的范圍求出“$2x+\frac{π}{4}$”的范圍，由正弦函數的性質求出f（x）的最小值，根據恒成立列出不等式，求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+cos2x+a$
=$sin2x+cos2x+a=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a$…（4分）
所以函數f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；…（6分）
（2）∵$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，∴$-\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
∴$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，\sqrt{2}]$，
則$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a∈[-1+a，\sqrt{2}+a]$，…（8分）
∴函數f（x）在區間上的最小值為-1+a，…（9分）
由f（x）＞0恒成立得，-1+a＞0，解得a＞1…（11分）
∴實數a的取值范圍為（1，+∞）…（12分）

點評 本題考查正弦函數的性質，兩角和與差的正弦公式，及三角函數的周期公式的應用，考查化簡、變形能力．