Question

16．（1）將一顆骰子（一種各個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，以分別得到的點數（m，n）作為點P的坐標（m，n），求：點P落在區域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$內的概率；
（2）在區間[1，6]上任取兩個實數（m，n），求：使方程x²+mx+n²=0有實數根的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意知是一個古典概型，由分步計數原理知試驗發生的總事件數是6×6，記“點P落在區域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$內”為事件A，事件A包括下列15個基本事件：15，即可求點P落在區域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$內的概率；
（2）在區間[1，6]上任取兩個實數（m，n），確定平面區域，求出相應的面積，即可求：使方程x²+mx+n²=0有實數根的概率．

解答 解：（1）拋擲2次骰子共包括36個基本事件，每個基本事件都是等可能的．…（1分）
記“點P落在區域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$內”為事件A，…（2分）
事件A包括下列15個基本事件：15；…（5分）
所以  $P（A）=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$．   …（6分）
答：點P落在內的概率為$\frac{5}{12}$…（7分）
注：以上評分，要從嚴，以此引導學生重視概率題的答題規范．
如，未記事件A的，扣（1分）；不列舉事件A的基本事件的，扣（3分）；不答的，扣（1分）
（2）記“方程x²+mx+n²=0有實數根”為事件B，…（8分）
在區間[1，6]上任取兩個實數（m，n），可看作是在區域D：$\{（m，n）|\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤6}\\{1≤n≤6}\end{array}\right.\}$內隨機取一點，
每個點被取到的機會是均等的；                                    …（10分）
而事件B發生，則視作點（m，n），恰好落在區域d：$\{（m，n）|\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤6}\\{1≤n≤6}\\{m≥2n}\end{array}\right.$ …（13分）
所以$P（B）=\frac{4}{25}$…（14分）
答：使方程x²+mx+n²=0有實數根的概率為$\frac{4}{25}$…（15分）

點評 本題考查古典概型、幾何概型的計算，涉及基本事件的數目的確定，面積的計算，屬于中檔題．