Question

7．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$，C_n=$\frac{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{b_nb_{n+1}}}}$，記數列{C_n}的前n項和T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$，可得數列{a_n}的遞推關系，從而可判斷該數列為等比數列，得解；
（2）由${c}_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，用裂項相消法易求．

解答 解：（1）當n=1時，由2S₁=1-a₁得：${a_1}=\frac{1}{3}$．           
由2S_n=1-a_n①
∴2S_n-1=1-a_n-1 （n≥2）②
上面兩式相減，得：${a_n}=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$．（n≥2）
∴數列{a_n}是首項為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數列．
∴${a_n}=\frac{1}{3^n}（n∈{N^*}）$．
（2）∵${a_n}=\frac{1}{3^n}（n∈{N^*}）$，
∴${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}{（\frac{1}{3}）^n}$=n．  
∴$C_n=\frac{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{n（n+1）}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}$，
$\begin{array}{l}{∴T}_n=C_1+C_2+…+C_n\\=（1-\frac{1}{{\sqrt{2}}}）+（\frac{1}{{\sqrt{2}}}-\frac{1}{{\sqrt{3}}}）+（\frac{1}{{\sqrt{3}}}-\frac{1}{{\sqrt{4}}}）+…+（\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}）=1-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}\end{array}$，
∵n∈N^*，
∴${T_n}=1-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}$＜1．

點評 本題考查數列的遞推式和數列的求和方法．第一問解題關鍵在于公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$的運用，考查了轉化的思想方法．第二問考查數列求和，根據通項公式的結構特點裂項求和是解題關鍵．屬于中檔題．