Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x＞2}\end{array}\right.$，若方程f（x）-a=0有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （1，3）
• B． （0，3）
• C． （0，2）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 根據分段函數f（x）的解析式，作出分段函數的圖象，方程f（x）-a=0有三個不同的實數根，即為函數y=f（x）的圖象與y=a的圖象有三個不同的交點，結合函數的圖象即可求得實數a的取值范圍．

解答 解：∵函數函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x＞2}\end{array}\right.$，
∴作出函數f（x）的圖象如右圖所示，
∵方程f（x）-a=0有三個不同的實數根，
則函數y=f（x）的圖象與y=a的圖象有三個不同的交點，
根據圖象可知，a的取值范圍為0＜a＜1．
故選：D．

點評 本題考查了分段函數的應用，考查了分段函數圖象的作法．解題的關鍵在于正確作出函數圖象，能將方程f（x）-a=0有三個不同的實數根的問題轉化為函數圖象有三個不同的交點的問題．解題中綜合運用了數形結合和轉化化歸的數學思想方法．屬于中檔題．