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12.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右焦點分別為F1,F2,則在橢圓C上滿足∠F1PF2=$\frac{π}{2}$的點P的個數有(  )
A.0個B.1個C.2 個D.4個

分析 由橢圓的標準方程,求得焦點坐標,則P坐標為(m,n),求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=(-2$\sqrt{3}$-m,-n),$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=(2$\sqrt{3}$-m,-n),由題意可知$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,根據向量數量積的坐標表示,求得n2=12-m2,將P代入橢圓方程,求得m2+4n2=16,即可求得m和n的值,即可求得P點的個數.

解答 解:設橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的點P坐標為P(m,n)
由a=4,b=2,c=2$\sqrt{3}$,
可得焦點分別為F1(-2$\sqrt{3}$,0),F2(-2$\sqrt{3}$,0)
由此可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=(-2$\sqrt{3}$-m,-n),$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=(2$\sqrt{3}$-m,-n),
由∠F1PF2=$\frac{π}{2}$,即$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,
得(-2$\sqrt{3}$-m)(2$\sqrt{3}$-m)+n2=0,n2=12-m2
又∵點P(m,n)在橢圓C上,即$\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{4}=1$
化簡得:m2+4n2=16,代入求得n2=$\frac{4}{3}$,m2=$\frac{32}{3}$,
∴n=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,m=±$\frac{4\sqrt{6}}{3}$,
故這樣的點由4個,
故選D.

點評 本題考查橢圓的標準方程,考查向量數量積的坐標運算,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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