Question

13．已知函數f（x）=sinx-x，若f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，則實數m的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由f（x）=sinx-x可知，f（x）定義域為R，且為奇函數，且為減函數，故f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立
轉化為m＞-$\frac{1}{2}$[（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2]在（0，1）上恒成立．

解答 解：由f（x）=sinx-x可知，f（x）定義域為R，且為奇函數；
∵f'（x）=cosx-1≤0，則f（x）在R上單調遞減；
f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0 即：f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2）；
根據函數單調性有：cos²θ+2msinθ＜2m+2  ①；
 sinθ=t∈（0，1），1-t＞0，①式則：1-t²+2mt＜2m+2；
⇒-1-t²＜2m（1-t）；
⇒m＞$\frac{-1-{t}^{2}}{2（1-t）}$=-$\frac{1}{2}$[（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2]
∵u=（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2 在（0，1）上單調遞減，u（0）=1
∴m $≥\\;-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，+∞）

點評 本題主要考查了函數的單調性與奇偶性的應用，以及分類參數與函數值域的求法知識點，屬中等題．