Question

8．設數列{a_n} 的前n項和為S_n，已知4S_n=2a_n-n²+7n（n∈N^*），則a₁₁=-2．

Answer 1

分析 由4S_n=2a_n-n²+7n（n∈N^*）⇒4S_n-1=2a_n-1-（n-1）²+7（n-1），n≥2，兩式相減可得a_n+a_n-1=4-n（n≥2），進一步整理可得數列{a_n} 的奇數項是以3為首項，-1為公差的等差數列，從而可得答案．

解答 解：∵4S_n=2a_n-n²+7n（n∈N^*），①
∴4S_n-1=2a_n-1-（n-1）²+7（n-1）（n≥2，n∈N^*），②
①-②得：4a_n=2a_n-2a_n-1-2n+8，
∴a_n+a_n-1=4-n（n≥2），③
a_n+1+a_n=4-（n+1），④
④-③得：a_n+1-a_n-1=-1．
又4a₁=2a₁-1²+7，∴a₁=3．
∴數列{a_n} 的奇數項是以3為首項，-1為公差的等差數列，
∴a₁₁=3+（6-1）×（-1）=-2．
故答案為：-2．

點評 本題考查數列遞推式的應用，通過遞推關系式的綜合運用，求得數列{a_n} 的奇數項是以3為首項，-1為公差的等差數列是順利解決問題的關鍵，考查推理與運算能力，屬于難題．