Question

18．如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2，AD=BG=1．
（1）證明：AG∥平面BDE；
（2）求AB與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BE中點H，連結DH，則可證四邊形ADHG為平行四邊形，從而得到AG∥DH，推出AG∥平面BDE；
（2）由題意建立如圖所示空間直角坐標系，結合已知求出所用點的坐標，進一步求得$\overrightarrow{AB}$及平面BDE的一個法向量，由兩向量所成角的余弦值可得AB與平面BDE所成角的正弦值．

解答 （1）證明：過G作GF⊥CE交BE于H，連結DH，則四邊形BCFG是矩形，
∴CF=BG，則F是CE的中點，H是FG的中點，
∴HG=$\frac{1}{2}$BC，HG∥BC，
∵AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=HG，AD∥HG，則四邊形ADHG是平行四邊形，
∴AG∥DH，
∵DH?平面BDE，AG?平面BDE，
∴AG∥平面BDE；
（2）解：由題意建立如圖所示空間直角坐標系，
∵BC=CD=CE=2，AD=BG=1，
∴D（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），A（2，1，0），
則$\overrightarrow{AB}=（-2，1，0）$，$\overrightarrow{DB}=（-2，2，0），\overrightarrow{DE}=（-2，0，2）$，
設平面BDE的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{m}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（1，1，1）$，
∴AB與平面BDE所成角的正弦值sinθ=|$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{-2×1+1×1}{\sqrt{（-2）^{2}+{1}^{2}}×\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，訓練了利用空間向量求線面角，是中檔題．