Question

6．已知函數f（x）=$\frac{ln（\sqrt{3}x）}{x}$
（1）求f（x）在[1，m]（m＞1）上的最小值；
（2）若關于x的不等式f²（x）-nf（x）＞0有且只有三個整數解，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數f（x）在閉區間上的最小值即可；
（2）根據f（x）的單調性，通過討論n的符號，解關于f（x）的不等式結合不等式解的個數，求出n的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-ln（\sqrt{3}x）}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，得f（x）的遞增區間為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）；
令f′（x）＜0，得f（x）的遞減區間為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞），…（2分）
∵x∈[1，m]，則當1≤m≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$e時，f（x）在[1，m]上為增函數，
f（x）的最小值為f（1）=$\frac{ln3}{2}$；
當m＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$e時，f（x）在[1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）上為增函數，
在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，m]上為減函數，又f（3）=$\frac{ln3}{2}$=f（1），
∴若$\frac{\sqrt{3}}{3}$e＜m≤3，f（x）的最小值為f（1）=$\frac{ln3}{2}$，…（4分）
若m＞3，f（x）的最小值為f（m）=$\frac{ln（\sqrt{3}m）}{m}$，
綜上，當1≤m≤3時，f（x）的最小值為f（1）=$\frac{ln3}{2}$；
當m＞3，f（x）的最小值為f（m）=$\frac{ln（\sqrt{3}m）}{m}$…（6分）
（2）由（1）知，f（x）的遞增區間為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e），遞減區間為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞），
且在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞）上，ln$\sqrt{3}$x＞lne=1＞0，又x＞0，則f（x）＞0，又f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=0，
∴n＜0時，由不等式f²（x）-nf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜n，
而f（x）＞0的解集為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），整數解有無數多個，不合題意；…（8分）
n=0時，由不等式f²（x）-nf（x）＞0，得f（x）≠0，解集為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），
整數解有無數多個，不合題意；…（10分）
n＞0時，由不等式f²（x）-nf（x）＞0，得f（x）＞n或f（x）＜0，
∵f（x）＜0的解集為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）無整數解，
若不等式f²（x）-nf（x）＞0有且只有三個整數解，
∵f（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）遞增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞）遞減，
而1＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$e＜2，f（1）=f（3），
所以，三個正整數為1，2，3，而f（4）=$\frac{ln4\sqrt{3}}{4}$，
綜上，實數n的取值范圍是[$\frac{ln4\sqrt{3}}{4}$，$\frac{ln3}{2}$）…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．