Question

11．等差數列{a_n}的公差為d，關于x的不等式$\fracp9vv5xb5{2}$x²+（a₁-$\fracp9vv5xb5{2}$）x+c≥0的解集是[0，12]，則使得數列{a_n}的前n項和大于零的最大的正整數n的值是（　　）

• A． 6
• B． 11或12
• C． 12
• D． 12或13

Answer 1

分析 根據已知等差數列{a_n}的公差為d，關于x的不等式$\fracp9vv5xb5{2}$x²+（a₁-$\fracp9vv5xb5{2}$）x+c≥0的解集為[0，12]，根據不等式解析的形式及韋達定理，判斷出數列的首項為正，公差為負，及首項與公差之間的比例關系，進而判斷出數列項的符號變化分界點，即可得到答案．

解答 解：∵關于x的不等式$\fracp9vv5xb5{2}$x²+（a₁-$\fracp9vv5xb5{2}$）x+c≥0的解集為[0，12]，
∴12=$-\frac{{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}}{\fracp9vv5xb5{2}}$，且$\fracp9vv5xb5{2}$＜0，
即a₁=-$\frac{11}{2}$d＞0，
則a₆=a₁+5d=$-\frac{11d}{2}+\frac{10d}{2}=-\fracp9vv5xb5{2}$＞0，a₇=a₁+6d=$-\frac{11d}{2}+\frac{12d}{2}=\fracp9vv5xb5{2}$＜0，
故使數列{a_n}的前n項和S_n最大的正整數n的值是6．
故選：A．

點評 本題考查數列遞推式，考查了數列的函數特性，其中根據不等式解析的形式及韋達定理，易判斷出數列的首項為正，公差為負，及首項與公差之間的比例關系，是解答本題的關鍵，是中檔題．