Question

15．如圖，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為12，腰長為4$\sqrt{2}$，當一條垂直于底邊BC（垂足為F）的直線l從左至右移動（與梯形ABCD有公共點）時，直線l把梯形分成兩部分．
（1）令BF=x（0＜x＜12），試寫出直線右邊部分的面積y與x的函數解析式；
（2）在（1）的條件下，令y=f（x）．構造函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），0＜x＜4}\\{（6-x）f（x），4＜x＜8}\end{array}\right.$．
①判斷函數g（x）在（4，8）上的單調性；
②判斷函數g（x）在定義域內是否具有單調性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）可以通過分類討論明確圖形的特征，再根據圖形形狀求出函數的解析式；
（2）可以求出函數g（x）的解析式，①由解析式即可得到判斷函數的單調性，②分別求出g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，比較即可．

解答 解：（1）過點A．D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H．
∵ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB=4$\sqrt{2}$cm，
∴BG=AG=DH=HC=4cm，
又∵BC=12cm，
∴AD=GH=4cm，
①當點F在BG上時，
即x∈（0，4]時，f（x）=32-$\frac{1}{2}$x²；
②當點F在GH上時，
即x∈（4，8]時，f（x）=8+4（8-x）=40-4x．
③當點F在HC上時，
即x∈（8，12）時，y=S_{五邊形ABFED}=S_梯形ACD-S_三角形CEF
f（x）=$\frac{1}{2}$（12-x）²，
∴函數解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{32-\frac{1}{2}{x}^{2}，0＜x≤4}\\{40-4x，4＜x≤8}\\{\frac{1}{2}（12-x）^{2}，8＜x＜12}\end{array}\right.$，
（2）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{32-\frac{1}{2}{x}^{2}，0＜x＜4}\\{（6-x）（40-4x），4＜x＜8}\end{array}\right.$，
①由二次函數的性質可知，函數g（x）在（4，8）上是減函數．
②雖然g（x）在（0，4）和（4，8）單調遞減，
但是g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，
∴g（3.9）＜g（4.1）．
因此函數g（x）在定義域內不具有單調性．

點評 本題考查了函數的解析式，函數的單調性，屬于中檔題．