Question

13．已知定義在R上的函數f（x）為偶函數，且滿足f（x）=f（x+2），f（-1）=1，若數列{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n=a_n+1，a₁=$\frac{1}{2}$，則f（a₅）+f（a₆）=（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由已知數列遞推式求得a₅、a₆的值，再結合偶函數f（x）滿足f（x）=f（x+2），f（-1）=1求得f（a₅）+f（a₆）．

解答 解：由2S_n=a_n+1，得2S_n-1=a_n（n≥2），
∴2a_n=a_n+1-a_n，得a_n+1=3a_n（n≥2），
又由2S_n=a_n+1，a₁=$\frac{1}{2}$，得a₂=1．
∴${a}_{5}=1×{3}^{3}=27$，${a}_{6}=1×{3}^{4}=81$．
由偶函數f（x）滿足f（x）=f（x+2），可得函數f（x）的周期為2，
∴f（a₅）=f（27）=f（-1）=1；
f（a₆）=f（81）=f（1）=f（-1）=1，
∴f（a₅）+f（a₆）=1+1=2．
故選：B．

點評 本題考查數列遞推式，考查了數列的函數特性，訓練了函數周期性與奇偶性的應用，是中檔題．