Question

4．連江一中第49屆田徑運動會提出了“我運動、我陽光、我健康、我快樂”的口號，某同學要設計一張如圖所示的豎向張貼的長方形海報進行宣傳，要求版心面積為162dm²（版心是指圖中的長方形陰影部分，dm為長度單位分米），上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm．
（1）若設版心的高為xdm，求海報四周空白面積關于x的函數S（x）的解析式；
（2）要使海報四周空白面積最小，版心的高和寬該如何設計？

Answer 1

分析 （1）由已知版心的高為xdm，則版心的寬為$\frac{162}{x}$dm，求出海報四周空白面積．
（2）利用基本不等式求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由已知版心的高為xdm，則版心的寬為$\frac{162}{x}$dm…（1分）
故海報四周空白面積為 $S（x）=（x+4）（\frac{162}{x}+2）-162$，…（4分）
即S（x）=2x+$\frac{648}{x}$+8，x＞0…（6分）
（2）由基本不等式得：$S（x）=2x+\frac{648}{x}+8≥2\sqrt{2x•\frac{648}{x}}+8=80$…（9分）
當且僅當$2x=\frac{648}{x}即x=18$時取等號 …（11分）
∴要使海報四周空白面積最小，版心的高應該為18 dm、寬為9 dm…（12分）

點評 本題考查實際問題選擇函數的模型，基本不等式的應用，考查計算能力．