Question

6．已知點A、B是拋物線C：x²=2py（p＞0）上不同的兩點，點D在拋物線C的準線l上，且焦點F到準線l的距離為2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若點F與原點O分別在直線AB與直線AD上，探究：直線BD與y軸間的關系．

Answer 1

分析 （1）利用焦點F到準線l的距離為2，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）直線AB：y=mx+1，與拋物線C：x²=4y聯立可得x²-4mx-4=0，證明B，D的橫坐標相等，即可得出結論．

解答 解：（1）∵焦點F到準線l的距離為2，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=mx+1．
與拋物線C：x²=4y聯立可得x²-4mx-4=0，∴x₁x₂=-4，
直線AO的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，令y=-1，則x=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，即D（-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，-1），
∴-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=-$\frac{4}{{x}_{1}}$=-x₂，
∴BD∥y軸．

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．