Question

11．已知函數f（x）=x（1-a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 依題意，f由（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，在同一坐標系中作出滿足題意的y=f（x+a）與y=f（x）的圖象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立，整理后為二次不等式，利用△≤0即可求得實數a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x（1-a|x|）+1=$\left\{\begin{array}{l}{x（1+ax）+1，x＜0}\\{x（1-ax）+1，x≥0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{a（x+\frac{1}{2a}）}^{2}+1-\frac{1}{4a}，x＜0}\\{-{a（x-\frac{1}{2a}）}^{2}+1+\frac{1}{4a}，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0），
∴f（x+a）=（x+a）（1-a|x+a|）+1，
∵f（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，
在同一坐標系中作出滿足題意的y=f（x+a）與y=f（x）的圖象如下：

∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立，
即x+ax²+1≥-a（x²+2ax+a²）+x+a+1，
整理得：2x²+2ax+a²-1≥0恒成立，
∴△=4a²-4×2（a²-1）≤0，
解得：a≥$\sqrt{2}$．
故答案為：[$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，深刻理解f（x+a）≤f（x）對任意的x∈R恒成立，得到x（1+ax）+1≥（x+a）[1-a（x+a）]+1恒成立是解決問題的關鍵，也是難點，考查作圖、分析與運算能力，屬于難題．