Question

14．已知拋物線y²=4x的焦點為F，點P，Q（異于頂點O）在拋物線上．
（1）若點P（1，2），試求過點P且與拋物線相切的直線方程；
（2）若過點P，Q且與拋物線分別相切的直線交于點M，證明：|PF|，|MF|，|QF|依次成等比數列．

Answer 1

分析 （1）求導數，確定切線的斜率，可得切線方程；
（2）求出過點P，Q且與拋物線分別相切的直線方程，可得M的坐標，利用等比數列的定義進行證明．

解答 （1）解：由題意，y=2$\sqrt{x}$，y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，x=1，y′=1，
∴過點P且與拋物線相切的直線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則過P的切線方程為y-y₁=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$（x-x₁），即y=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$x+$\sqrt{{x}_{1}}$，
同理過Q的切線方程為y=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}$x+$\sqrt{{x}_{2}}$，可得M（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$），
∴|PF|=x₁+1，|QF|=x₂+1，|MF|²=（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$-1）²+（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$）²，
∴|MF|²=|PF||QF|，
∴|PF|，|MF|，|QF|依次成等比數列．

點評 本題考查拋物線的切線方程，考查等比數列的證明，綜合性強．