Question

4．已知函數y=f（x）是定義域為R的偶函數，當x≥0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{4}sin（{\frac{π}{2}x}）（{0≤x≤1}）\\{（{\frac{1}{4}}）^x}+1（{x＞1}）\end{array}\right.$若關于x的方程5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且僅有6個不同實數根，則實數a的取值范圍是（0，1）∪{$\frac{5}{4}$}．

Answer 1

分析 解方程可得f（x）=a或f（x）=$\frac{6}{5}$，作出f（x）的函數圖象，根據圖象判斷a的范圍．

解答 解：作出f（x）的函數圖象如圖所示：

令f（x）=t，則由圖象可得：
當t=0時，方程f（x）=t只有1解；
當0＜t＜1或t=$\frac{5}{4}$時，方程f（x）=t有2解；
當1$＜t＜\frac{5}{4}$時，方程f（x）=t有4解；
∵5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0，
∴f（x）=$\frac{6}{5}$或f（x）=a，
∵f（x）=$\frac{6}{5}$有4解，
∴f（x）=a有兩解，
∴0＜a＜1或a=$\frac{5}{4}$．
故答案為：（0，1）∪{$\frac{5}{4}$}．

點評 本題考查了方程根的個數與函數圖象的關系，屬于中檔題．