Question

9．若實數x，y滿足$x=\sqrt{1-{y^2}}$，則$\frac{y+2}{x}$的取值范圍為（　　）

• A． $[{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}]$
• B． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• C． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$
• D． $[{\sqrt{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 設過原點的右半個圓的切線方程為y=kx-2，再根據圓心（0，0）到切線的距離等于半徑，求得k的值，可得$\frac{y+2}{x}$的取值范圍．

解答 解：由題意可得，$\frac{y+2}{x}$表示右半個圓x²+y²=1上的點（x，y）與原點（0，-2）連線的斜率，
設k=$\frac{y+2}{x}$，故此圓的切線方程為y=kx-2，
再根據圓心（0，0）到切線的距離等于半徑，可得r=$\frac{|-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
平方得k²=3
求得k=±$\sqrt{3}$，故$\frac{y+2}{x}$的取值范圍是[$\sqrt{3}$，+∞），
故選：D．

點評 本題主要考查圓的切線性質，直線的斜率公式，屬于中檔題．