Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），當k為整數時，向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$ 的夾角能否為60°？證明你的結論．

Answer 1

分析 ：假設向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$ 的夾角能為為60°，利用條件以及兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式求得k²-4k+1=0，根據此方程無整數解，可得向量$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角不能為60°．

解答 解：假設向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$ 的夾角能為為60°，
則cos 60°=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|①．
又∵$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=k$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k²•$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+k${\overrightarrow{b}}^{2}$=2k ②，
|m||n|=$\sqrt{{k}^{2}{•\overrightarrow{a}}^{2}+2k•\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$•$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2k•\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+k}^{2}{•\overrightarrow{b}}^{2}}$=k²+1 ③，
由①②③，得2k=$\frac{1}{2}$ （k²+1），∴k²-4k+1=0．
∵該方程無整數解，∴當k為整數時，$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$ 的夾角不能為60°．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式，屬于中檔題．