Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2m，1）$\overrightarrow$=（4-n，2），m＞0，n＞0，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則$\frac{1}{m}+\frac{8}{n}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據向量的平行求出m+$\frac{n}{4}$=1，再根據基本不等式即可求出

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（2m，1）$\overrightarrow$=（4-n，2），m＞0，n＞0，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴4m=4-n，
即m+$\frac{n}{4}$=1，
則$\frac{1}{m}+\frac{8}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{8}{n}$）（m+$\frac{n}{4}$）=1+2+$\frac{n}{4m}$+$\frac{8m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{4m}•\frac{8m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，當且僅當m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號，
則$\frac{1}{m}+\frac{8}{n}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
故答案為：3+2$\sqrt{2}$

點評 本題考查了向量的坐標運算和基本不等式的應用，屬于基礎題