Question

3．某地教育主管部門對所管轄的學校進行年終督導評估，為了解某學校師生對學校教學管理的滿意度，分別從教師和不同年級的學生中隨機抽取若干師生，進行評分（滿分100分），繪制如下頻率分布直方圖，并將分數從低到高分為四個等級：

滿意度評分	低于60分	60分到79分	80分到89分	90分及以上
滿意度等級	不滿意	基本滿意	滿意	非常滿意

已知滿意度等級為基本滿意的有136人．
（I）求表中a的值及不滿意的人數；
（II）特從等級為不滿意師生中按評分分層抽取6人了解不滿意的原因，并從6人中選取2人擔任整改監督員，求2人中恰有1人評分在[40，50）的概率；
（III）若師生的滿意指數不低于0.8，則該校可獲評“教學管理先進單位”，根據你所學的統計知識，判斷是否能獲獎，并說明理由．（注：滿意指數=$\frac{滿意程度的平均分}{100}$）

Answer 1

分析 （I）由頻率和為1列方程求出a的值，根據比例關系求出不滿意的人數；
（II）按分層抽樣原理抽取6人，利用列舉法求出所有的基本事件數，計算對應的概率值；
（III）計算師生的滿意指數，即可得出結論．

解答 解：（I）由頻率和為1，得
（0.002+0.004+0.014+0.020+a+0.025）×10=1，
解得a=0.035，
設不滿意的人數為x，則
（0.002+0.004）：（0.014+0.020）=x：136，
解得x=24；
（II）按評分分層抽取6人，應在評分在[40，50）的師生中抽取2人，分別記作A、B，
在評分在[50，60）的師生中抽取4人，分別記為c、d、e、f，
從這6人中選2人的所有基本事件為
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15種，
其中恰有1人評分在[40，50）包含的基本事件為
Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共8種，
記“2人中恰有1人的評分在[40，50）”為事件A，則P（A）=$\frac{8}{15}$；
（III）師生的滿意指數為
$\frac{1}{100}$×（45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25）=0.807；
師生的滿意指數不低于0.8，可獲評“教學管理先進單位”．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題．