Question

4．在直角坐標平面內，如果兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數y=f（x）的圖象上；②P，Q關于y軸對稱，則稱（P，Q）是函數y=f（x）的一對“偶點”（偶點（P，Q）與（Q，P）看作同一對偶點），已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx-1，x≥0}\\{2{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$有兩對“偶點”，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-4-4$\sqrt{2}$）
• B． （-4+4$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-4-4$\sqrt{2}$，-4+4$\sqrt{2}$）
• D． （0，-4+4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 求出y=2x²+4x+3（x＜0）關于y軸對稱的函數為y=2x²-4x+3（x＞0），令y=kx-1與y=2x²-4x+3（x＞0）有兩交點，根據導數的幾何意義求出k的臨界值即可得出k的范圍．

解答 解：y=2x²+4x+3（x＜0）關于y軸對稱的函數為y=2x²-4x+3（x＞0），
∴f（x）有兩對偶點，
∴y=kx-1與y=2x²-4x+3在（0，+∞）上有兩個交點，
作出y=kx-1與y=2x²-4x+3的函數圖象，

設y=kx-1與y=2x²-4x+3相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}-1}\\{{y}_{0}=2{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}+3}\\{4{x}_{0}-4=k}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{2}$，y₀=7-4$\sqrt{2}$，k=4$\sqrt{2}$-4，
∴當k＞4$\sqrt{2}$-4時，直線y=kx-1與y=2x²-4x+3有兩個交點．
故選：B．

點評 本題考查了方程根與函數圖象的關系，屬于中檔題．