Question

19．已知$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$，把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移$\frac{1}{2}$個單位，得到y=g（x）的圖象，則（　　）

• A． g（x）為奇函數
• B． g（x）為偶函數
• C． g（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上單調遞增
• D． g（x）的一個對稱中心為$（-\frac{π}{2}，0）$

Answer 1

分析 將f（x）化簡，根據平移變換的規律，求出g（x），結合三角函數的性質判斷各選項即可．

解答 解：由$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．
把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，可得sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]$-\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．再向上平移$\frac{1}{2}$個單位，
可得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）=g（x）．
∵g（-x）=sin（-2x-$\frac{π}{6}$）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）≠-g（x）．∴A不對．
∵g（-x）=sin（-2x-$\frac{π}{6}$）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）≠g（x）．∴B不對．
令$-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}$可得：$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，∴g（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上單調遞增，∴C對．
當x=$-\frac{π}{2}$時，可得f（$-\frac{π}{2}$）=sin（-π-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．∴$（-\frac{π}{2}，0）$不是對稱中心．∴D不對．
故選：C．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．