Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₅=5，S₅=15，則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前2016項(xiàng)和為（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{2017}{2016}$
• C． $\frac{2015}{2017}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 由題意可知：S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=15，求得a₁=1，則a₅=a₁+4d=5，即可求得d=1，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得a_n=n，則$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前2016項(xiàng)和．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d，
∵a₅=5，S₅=15，
由S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=15，解得：a₁=1，
a₅=a₁+4d=5，則d=1，
等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為1，公差為1，
a_n=a₁+（n-1）d=n，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前2016項(xiàng)和S₂₀₁₆，S₂₀₁₆=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$），
=1-$\frac{1}{2017}$，
=$\frac{2016}{2017}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．