Question

18．已知$\vec a=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx，2cosx）$，$\vec b=（2cosx，\frac{1}{2}cosx）$，記函數$f（x）=\vec a•\vec b+m$
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）如果函數f（x）的最小值為1，求m的值，并求此時f（x）的最大值及圖象的對稱軸方程．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數量積公式得出f（x）的解析式，并利用二倍角公式化簡，根據周期公式計算周期；
（2）根據正弦函數的性質列方程得出m，從而得出f（x）的最大值和對稱軸．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+m$，
∴$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}+m$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}+m$，
所以最小正周期T=π，
（2）∵f（x）的最小值為1，∴$-1+\frac{1}{2}+m=1$，
解得$m=\frac{3}{2}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，∴f_max（x）=3．
令$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
故函數f（x）的圖象的對稱軸方程為$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，三角函數的恒等變換，正弦函數的性質，屬于中檔題．