Question

8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，有下列四個(gè)結(jié)論：①b²≥ac；②$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}≥\frac{2}{b}$；③${b^2}≤\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}$；④$B∈（{0，\frac{π}{3}}]$．其中正確的結(jié)論序號(hào)為①②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)題意a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c．依次對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

解答 解：由題意：a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c．
對(duì)于①：∵2b=a+c，∴a+c≥2$\sqrt{ac}$，即b≥$\sqrt{ac}$，可得b²≥ac，∴①對(duì)；
對(duì)于②：$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{a+c}{ac}$，∵2b=a+c，∴a+c≥2$\sqrt{ac}$，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}≥\frac{2}{b}$；，∴②對(duì)；
對(duì)于③：${b^2}≤\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}$，∵a²+c²≥$（\frac{a+c}{2}）^{2}$，2b=a+c，可得：${b^2}≤\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}$，∴③對(duì)；
對(duì)于④：a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，可得2sinB=sinA+sinC，∵A+B+C=π，
可得：B≤$\frac{π}{3}$．∴④對(duì)．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、等差數(shù)列的基本性質(zhì)．考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．